已知函数 f （ x ）=|log 2 （ x +1）|，实数 m 、 n 在其定义域内，且 m ＜ n ， f （ m

证明略

由 f （ m ）= f （ n ），得|log ₂ （ m +1）|=|log ₂ （ n +1）|，即log ₂ （ m +1）=±log ₂ （ n +1），
log ₂ （ m +1）=log ₂ （ n +1），①
或log ₂ （ m +1）=log ₂ .②
由①得 m +1= n +1，与 m ＜ n 矛盾，舍去.
由②得 m +1= ，即（ m +1）（ n +1）="1. " ③
∴ m +1＜1＜ n +1.∴ m ＜0＜ n .∴ mn ＜0.
由③得 mn + m + n =0， m + n =－ mn ＞0.
证法二：（同证法一得）（ m +1）（ n +1）=1.
∵0＜ m +1＜ n +1，∴ ＞ =1.∴ m + n +2＞2.∴ m + n ＞0.
（2）证明：当 x ＞0时， f （ x ）=|log ₂ （ x +1）|=log ₂ （ x +1）在（0，+∞）上为增函数.
由（1）知 m ² －（ m + n ）= m ² + mn = m （ m + n ），且 m ＜0， m + n ＞0，∴ m （ m + n ）＜0.
∴ m ² －（ m + n ）＜0，0＜ m ² ＜ m + n .
∴ f （ m ² ）＜ f （ m + n ）.
同理，（ m + n ）－ n ² =－ mn － n ² =－ n （ m + n ）＜0，
∴0＜ m + n ＜ n ² .∴ f （ m + n ）＜ f （ n ² ）.
∴ f （ m ² ）＜ f （ m + n ）＜ f （ n ² ）.