已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．

解题思路：（1）先求导函数f′（x），要使f（x）在区间（0，2）上单调递增，只需x∈（0，2）时，f′（x）＞0恒成立，利用分离参数法，即可求出a的范围；
（2）由（1）中导函数的解析式，我们易求出函数取极值时x的值，然后根据函数f（x）的极小值和极大值，构造关于a，b的方程，解方程后即可求出函数y=f（x）的解析式；
（3）根据导数的几何意义可知tanθ=f′（x），然后根据倾斜角为θ的范围求出f′（x）的范围在x∈[0，1]恒成立，将a分离出来，使之恒成立即可求出a的范围．

（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由题设，当x∈（0，2）时，f′（x）≥0恒成立，即-3x²+2ax≥0恒成立，
∴2a≥3x恒成立，
∴2a≥6，
∴a≥3
（2）求导函数，可得f′（x）=-3x²+2ax=x（-3x+2a）
a＜0时，当x∈（-∞，[2/3a）时，f′（x）＜0，x∈（
2
3a，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0
∴函数在0处取得极大值，在
2
3a处取得极小值
∵函数满足y_极大=1，y_极小=-3，
∴f（0）=1，f（
2
3a）=-3
∴a=-3，b=1
∴f（x）=-x³-3x²+1
（3）当x∈（0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x³+2ax
∵0≤θ≤
π
4]，∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1在x∈（0，1]恒成立，
由（1）知，当-3x²+2ax≥0时，a≥[3/2]，
由-3x²+2ax≤1得2a≤3x+[1/x]恒成立，
∵3x+[1/x]≥2
3（当且仅当x=

3
3时，取等号）
∴2a≤2
3
∴a≤
3
∴[3/2]≤a≤
3

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查导数知识的运用，考查灵活运用转化与划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．