(2012•房山区二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,xf′(x)−f(x)x2>0,且f(-2)=0,

(2012•房山区二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,
xf′(x)−f(x)
x2
>0
,且f(-2)=0,则不等式
f(x)
x
>0
的解集是(  )
A.(-2,0)∪(0,2)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
samtong0086 1年前 已收到1个回答 举报

黑五月 幼苗

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解题思路:f(x)是定义在R上的偶函数,说明
f(x)
x
奇函数,若x>0时,
xf′(x)−f(x)
x2
>0
,可得
f(x)
x
为增函数,若x<0,
f(x)
x
为增函数,根据f(-2)=f(2)=0,求出不等式的解集;

∵f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,
xf′(x)−f(x)
x2>0,

f(x)
x为增函数,f(x)为偶函数,
f(x)
x为奇函数,

f(x)
x在(-∞,0)上为增函数,
∵f(-2)=f(2)=0,
若x>0,
f(2)
2=0,所以x>2;
若x<0,
f(−2)
−2=0,
f(x)
x在(-∞,0)上为增函数,可得-2<x<0,
综上得,不等式
f(x)
x>0的解集是(-2,0)∪(2,+∞)
故选C;

点评:
本题考点: 导数的运算;奇偶性与单调性的综合.

考点点评: 此题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合题,解题的关键是找函数的零点问题,此题是一道基础题;

1年前

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