数学归纳法证明(a1+a2+.+an)^2=a1^2+a2^2+.+an^2+2(a1a2+a1a3+.+a(n-1)*
数学归纳法证明(a1+a2+.+an)^2=a1^2+a2^2+.+an^2+2(a1a2+a1a3+.+a(n-1)*an).(n大于等于2)
赞 lf_zh 幼苗
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当n=2时,(a1+a2)^2=a1^2+a2^2+2a1a2,等式成立
设n=k时,则
(a1+a2+.+ak)^2
=a1^2+a2^2+.+ak^2+2(a1a2+a1a3+.+a(k-1)*ak).(k=>2)
当n=k+1时,
(a1+a2+.+ak+a(k+1))^2
=a(k+1)^2+2(a1+a2+.+ak)*a(k+1)+(a1+a2+.+ak)^2
因为(a1+a2+.+ak)^2
=a1^2+a2^2+.+ak^2+2(a1a2+a1a3+.+a(k-1)*ak).(k=>2)
所以a(k+1)^2+2(a1+a2+.+ak)*a(k+1)+(a1+a2+.+ak)^2
=a1^2+a2^2+.+ak^2+a(k+1)^2+2(a1+a2+.+ak)*a(k+1)+2(a1a2+a1a3+.+a(k-1)*ak)
=a1^2+a2^2+.+ak^2+a(k+1)^2+2(a1a2+a1a3+.+a(k-1)*ak+a1*a(k+1)+a2*a(k+1)+...+ak*a(k+1))
所以当n=k+1时也成立,
原等式也成立.
设n=k时,则
(a1+a2+.+ak)^2
=a1^2+a2^2+.+ak^2+2(a1a2+a1a3+.+a(k-1)*ak).(k=>2)
当n=k+1时,
(a1+a2+.+ak+a(k+1))^2
=a(k+1)^2+2(a1+a2+.+ak)*a(k+1)+(a1+a2+.+ak)^2
因为(a1+a2+.+ak)^2
=a1^2+a2^2+.+ak^2+2(a1a2+a1a3+.+a(k-1)*ak).(k=>2)
所以a(k+1)^2+2(a1+a2+.+ak)*a(k+1)+(a1+a2+.+ak)^2
=a1^2+a2^2+.+ak^2+a(k+1)^2+2(a1+a2+.+ak)*a(k+1)+2(a1a2+a1a3+.+a(k-1)*ak)
=a1^2+a2^2+.+ak^2+a(k+1)^2+2(a1a2+a1a3+.+a(k-1)*ak+a1*a(k+1)+a2*a(k+1)+...+ak*a(k+1))
所以当n=k+1时也成立,
原等式也成立.
1年前
6
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