将1、2、3、4、5、7、8、9分别填入上图的8个“○”中，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的

解题思路：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，从九个数字中选8个，设幻和是a，四个三角形上数字的和相当于4a，重复加的数字就是中间正方形四个顶点上的数之和即一个幻和a，因此可得：45-9≤4a-a≤45-1，则12≤a≤14，所以当幻和是12时，去掉的数字是45-12×3=9，中间的四个数字是：1+2+3+6=12；当幻和是13时，去掉的数字是45-13×3=6，中间的四个数字是：1+2+3+7=13；当幻和是14时，去掉的数字是45-14×3=3，中间的四个数字是：1+2+4+7=14；然后再确定其它四个顶点上的数字，并求最上面和最下面的两个圆圈内的数之和就容易了．

根据分析画图如下：

所以，最上面和最下面的两个圆圈内的数之和分别是（包括旋转）：图一：8+4=5+7=12，图二：9+4=8+5=13，图三：6+8=5+9=14．
故答案为：12或13或14．

点评：
本题考点： 幻方．

考点点评： 本题属于比较复杂的幻方问题，关键是求出幻和的取值范围和中间正方形四个顶点上的数．