定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（

证明：（1）令f（x）=lnx，f′(ξ)＝
1
ξ，x＜ξ＜y…（1分）
（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）
故lny−lnx＝
y−x
ξ，又[y−x/y＜
y−x
ξ＜
y−x
x]…（*）…（2分）
即1−
x
y＜lny−lnx＜
y
x−1(0＜x＜y)…（3分）
（2）由条件可知bn＝
1
n则Tn＝1+
1
2+
1
3+…+
1
n
在[1/n+1＜ln
n+1
n＜
1
n]中令n=1，2，3，…，2007，并将各式相加得[1/2+
1
3+…+
1
2011＜ln
2
1+ln
3
2+…+ln
2011
2010＜1+
1
2+
1
3+…+
1
2010]
即T₂₀₁₁-1＜ln2008＜T₂₀₁₀
（3）当n=1时，f(x)−f(y)＝f′(
x+y
2)(x−y)显然成立．…（9分）
当n=2时，f(x)−f(y)＝x2−y2＝2(
x+y
2)(x−y)＝f′(
x+y
2)(x−y)．…（10分）
下证当n≥3时，等式f(x)−f(y)＝f′(
x+y
2)(x−y)不恒成立．
不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2^n-1=n…（11分）
当n≥3时，2^n-1=（1+1）^n-1=C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1≥2+C_n-1¹=n+1＞n…（13分）
因此n≥3时方程2^n-1=n无解．故n的所有可能值为1和2

点评：
本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要主要考查了数列与函数的综合应用，同时考查了二项式定理和不等式的证明，属于中档题．

1年前

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