怎样证明ab+bc+ac大于等于8abc

怎样证明ab+bc+ac大于等于8abc
原题为a,b,c都是正数，且a+b+c=1,求证：（1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc
csh5709ql54_6_8 1年前 已收到3个回答 举报
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_117 幼苗

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如果a,b,c为任意正数的话,这个不等式并不成立
例如,取a=b=c=1,则ab+bc+ac=3

1年前

1

杨虎山 幼苗

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楼上的回答，在ab+bc+ac-abc>=8abc这里略微有一点点跳步，我稍微补充一下。
由于a、b、c都是正数，所以就是要证1/a+1/b+1/c>=9，再注意到a+b+c=1，就只要(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9。这个式子很好证，直接展开，所有形如a/b+b/a的地方都直接大于等于2就行了，具体来说，
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=3+a/...

1年前

3

彼岸繁华三千 幼苗

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∵a+b+c=1,
∴（1-a)(1-b)(1-c)=1-a-b-c+ab+bc+ac-abc=ab+bc+ac-abc≥8abc
又∵a,b,c都是正数
∴ab+bc+ac≥ab+bc+ac-abc≥8abc

1年前

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