熵公式S=Q/T的起源与背景
熵公式S=Q/T是热力学第二定律的核心数学表达，其推导并非一蹴而就，而是源于19世纪科学家对热机效率的深入研究。德国物理学家鲁道夫·克劳修斯在分析卡诺热机循环时发现，在一个可逆循环过程中，系统吸收的热量Q与温度T的比值（即Q/T）在整个循环中的代数和为零。这意味着虽然热量本身不是状态函数，但Q/T的积分却与路径无关，只取决于系统的初末状态。克劳修斯由此意识到，这个比值定义了一个新的、描述系统热力学状态的物理量，他将其命名为“熵”（Entropy）。
从卡诺循环到熵的定义
具体的推导可以从理想的可逆卡诺循环出发。卡诺热机由两个等温过程和两个绝热过程构成。在高温热源T1处吸收热量Q1，在低温热源T2处放出热量Q2。卡诺定理指出，其效率仅与两热源温度有关：η=1-Q2/Q1=1-T2/T1。由此可得Q1/T1 = Q2/T2。这表明，在可逆循环中，热量与相应温度的比值之和为零（吸热为正，放热为负）。将此结论推广到任意复杂可逆循环，克劳修斯得出∮(δQ_rev/T)=0的结论。正是这个积分为零的性质，证明了δQ_rev/T是一个全微分，对应一个状态函数S，其微分定义为dS = δQ_rev / T。因此，系统从状态A到状态B的熵变，就是沿任意可逆路径的积分：ΔS = ∫_A^B (δQ_rev / T)。
公式的物理意义与延伸
S=Q/T（更精确地是微分形式）的诞生，标志着对热力学过程方向性认识的飞跃。熵的物理意义是系统无序度或能量退化的度量。公式中的温度T出现在分母，意味着同样的热量传递，在低温时对系统无序度（熵）的影响更为显著。更重要的是，克劳修斯进一步指出，对于不可逆过程，系统的熵变大于不可逆过程的热温商（即dS > δQ_irr/T），这构成了热力学第二定律的克劳修斯不等式。因此，熵公式的推导不仅给出了一个状态函数的定义，更从根本上揭示了自然过程不可逆性的量化规律，即一个孤立系统的熵永不减少。
