关于反三角函数为何是多值函数的问题……

看得出来LZ是经过自己思考的,这很好~
按照中学里反函数的定义,LZ的理解基本正确!只是"1"有一点小问题：f有反函数的充要条件是f为单射,并不一定f严格单调.如果定义在某区间上的函数f连续,那么f为单射等价于f严格单调.如果f不连续,那么f有反函数未必需要f严格单调.
除此之外,2,3,4都是正确的.在严格的函数意义下,三角函数整体不是单射,无反函数.三角函数限定在一个单调区间内形成了一个新函数,反三角函数是指这个新函数的反函数.由于原函数是单调的,反三角函数确实也是单调的.
当然,以上讨论限制在严格的函数概念上.书上说的意思是允许考虑所谓“多值函数”,这里要注意,多值函数不是严格意义上的函数,因为一个自变量可能应该到多于一个的函数值.
用映射的语言说,f:A->B是个满射.如果f不单,那么f逆不是映射.但是如果对任意y∈B,定义f^(y)={x∈A:f(x)=y},尽管f^未必是映射,还是可以把f^称为B->A的一个“多值函数”,这时f^在某点处的值可能并不是一个数而是一个集合.“多值函数”实际是函数概念的一种推广.
以f(x)=sinx,x∈R为例.它不是单射,无严格意义下的反函数,因为对y∈[-1,1],满足sinx=y,x∈R的x不止一个.但在上面所说的“多值函数”意义下,f可以有反函数f^,f^在某点取值为一个数集,例如f^(0)={kπ:k为整数}.
简单来说,你的理解基本没问题.书上这样说是因为它考虑了多值函数,这已经超出了严格意义上的“函数”概念,是一种推广的函数.

你搜一下反三角函数图像，在点正负π/2处，反三角函数数值趋于无穷，周期是π，在相应区间为单调函数。在正负π/2区间，三角函数正好单调。
2、3正确
单调和多值是两个概念，我学的时候没涉及到多值这个概念，所以我觉得，应为反三角函数在相应区间单调，在周期点趋于无穷，所以对应的函数值是无穷多个，即指多值...

什么叫单调