（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜

解题思路：（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式x=−

b

2a

，易证n+4m=0；
（2）本问利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组，不能遗漏；
（3）本问利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值．

（1）证明：∵二次函数y=mx²+nx+p图象的顶点横坐标是2，
∴抛物线的对称轴为x=2，
即−
n
2m=2，
化简得：n+4m=0．

（2）∵二次函数y=mx²+nx+p与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，
∴OA=-x₁，OB=x₂；x₁+x₂=−
n
m，x₁•x₂=[p/m]；
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|．
由三角函数定义得：tan∠CAO=[OC/OA]=
|p|
−x1=−
|p|
x1，tan∠CBO=[OC/OB]=
|p|
x2．
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即−
|p|
x1-
|p|
x2=1，
化简得：
x1+x2
x1x2=-[1
|P|，
将x₁+x₂=−
n/m]，x₁•x₂=[p/m]代入得：
−
n
m

p
m=-[1
|P|，
化简得：n=
p
|p|=±1．
由（1）知n+4m=0，
∴当n=1时，m=−
1/4]；当n=-1时，m=[1/4]．
∴m、n的值为：m=[1/4]，n=-1（此时抛物线开口向上）或m=−
1

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题要求同学们熟练掌握二次函数的性质，包括抛物线的解析式、对称轴公式、抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系、二次函数的最值等重要知识点．作为中考压轴题，本题难度适中，相信多数同学能够顺利解决；难点在于由于题中未明确抛物线的开口方向，导致部分同学感觉难以下手，或者盲目求解，只得到m、n的一组解（第2问），从而导致失分．