设函数f（x）=m（x−1x）-21nx，g（x）=[2e/x]（m是实数，e是自然对数的底数）．

（1）当m=2e时，
∵f（x）=2e（x−
1
x）-21nx，g（x）=[2e/x]，
∴f（x）+g（x）=2e（x−
1
x）-21nx+[2e/x]=2ex-lnx，
f′（x）+g′（x）=2e-[2/x]，
故当x＞[1/e]，f（x）+g（x）是增函数；当0＜x＜[1/e]时，f（x）+g（x）是减函数；
∴函数f（x）+g（x）的增区间是（[1/e]，+∞）；减区间是（0，[1/e]）．
（2）∵f′（x）=m+[m
x2-
2/x]，∴f′（1）=2（m-1），设直线l：y=2（m-1）（x-1），
由

y＝2(m−1)(x−1)
y＝
2e
x得（m-1）（x-1）=[e/x]，即（m-1）x²-（m-1）x-e=0，
当m=1时，方程无解；
当m≠1时，∵l与g（x）的图象相切，
∴（m-1）²-4（m-1）（-e）=0，得m=1-4e．
综上，m=1-4e．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，综合性比较强．

1年前

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