设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫baf（x）dx≤（b-a）f（[a+b/2]）．

证明：∀x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+
f″(ξ)
2!(x−t)2．
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
a+b
2，则有
f(x)≤f(
a+b
2)+f′(
a+b
2)(x−
a+b
2)．
将不等式两边从a到b积分可得，

∫baf(x)dx≤
∫baf(
a+b
2)dx+
∫baf′(
a+b
2)(x−
a+b
2)dx
=(b−a)f(
a+b
2)+f′(
a+b
2)[
1
2(x−
a+b
2)2]
|ba
=(b−a)f(
a+b
2)．

点评：
本题考点： 定积分的几何意义；利用泰勒公式进行证明；定积分的基本性质．

考点点评： 在利用泰勒公式进行不等式的证明时，需要利用带有拉格朗日型余项的泰勒公式将函数展开；利用已知条件中f的n阶导数的符号，可以做适当的放缩．