在1×2×3×4×5×6…×200=7的n次方×M的等式中,M,n,都是自然数,n最大可以取多少?

在1×2×3×4×5×6…×200=7的n次方×M的等式中,M,n,都是自然数,n最大可以取多少?
答案是32.
下面给出详细过程,进行了很多助于理解的说明.并给出了推广和数论背景知识.
200以内7的倍数：
7,14,...,196
有且只有这些数含有约数7.
它们的个数,是200/7的整数部分,用高斯取整函数[x],记成[200/7]=196/7=28
每个数计因子7各1次,得到7的指数
e(1)=[200/7];
其中49,98,147,196,还能被7^2整除,各数应当再多计因子7各1次.
这些数的个数为4,可以这样计算：
[200/7^2]=4,
显然也可以这样算：[[200/7]/7]=[28/7]=4
这样得到由7^2的倍数追加的指数
e(2)=[200/7^2]
同样还要讨论7^i(i>=3)的倍数的贡献,但是[200/7^3]=0,已经不用再考虑.
于是所求指数
n
=e(1)+e(2)+...
=[200/7]+[200/7^2]+...
=28+4+0
=32
思考题:
1*2* ...* N =p^e * k,p为素数.求e的最大值.
答案：
e
=[N/p}+[N/p^2]+[N/p^3]+...(可以一直加下去,加到0当然就可以停了,加也白加)
=sum([N/p^i]) {i从1到无穷大}
在数论中,这个函数常常写成：
Pot_(p) (N!)
Pot_p (k)就是k的标准素因子分解式中,质数p的指数.

先找出200以内和7有关的数字
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196
一共有28个数字，就是7的28次方，其中49=7*7，所以一共最多有7的29次方。

就是看看从1到200，一共含有多少个因数7
200÷7=28余4
200÷49=4余4
因数7一共有：28+4=32个
所以n最大可以取32