（2012•深圳二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知

（2012•深圳二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知B（8，0），tan∠ABC=[1/2]，△ABC的面积为8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动直线EF（EF∥x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．连接FP，设运动时间t秒．当t为何值时，[EF•OP/EF+OP]的值最大，求出最大值；
（3）在满足（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．
guoguo_2100 1年前 已收到1个回答 举报
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武汉大周 幼苗

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解题思路：（1）求出A，B，C，三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，问题得解．
（2）利用相似三角形得到
EF•OP
EF+OP]，和t的关系式问题得解．
（3）因为相似对应的不唯一性，需要讨论，分别求出满足题意的t的值．

（1）由题意知∠COB=90°B（8，0）OB=8，
在Rt△OBC中tan∠ABC=[OC/OB＝
1
2]OC=OB×tan∠ABC=8×[1/2]=4，
∴C（0，4），S△ABC＝
1
2AB•OC＝8，
∴AB=4，
∴A（4，0）
把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a＞0）得

16a+4b+c＝0
64a+8b+c＝0
c＝4，
解得

a＝
1
8
b＝−
3
2
c＝4．所以抛物线的解析式为y＝
1
8x2−
3
2x+4；

（2）C（0，4）B（8，0）E（0，4-t）（t＞0），
OB=2OC=8CE=tBP=2tOP=8-2t，
∵EF∥OB，
∴△CEF∽△COB，
∴[CE/CO＝
EF
OB]，
则有[t/4＝
EF
8]得EF=2t，
[EF•OP/EF+OP＝
2t(8−2t)
2t+8−2t＝
1
2(4t−t2)=−
1
2(t−2)2+2．
当t=2时

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查用一般式求二次函数的解析式及二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．体现的数学思想是分类讨论思想．

1年前

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