foxlamar 幼苗
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x•lnx+x |
x−1 |
x•lnx+x |
x−1 |
x(lnx+1) |
x−1 |
(Ⅰ)由f(x)=xlnx+ax,得:f′(x)=lnx+a+1
∵函数f(x)在区间[e2,+∞)上为增函数,
∴当x∈[e2,+∞)时f′(x)≥0,
即lnx+a+1≥0在区间[e2,+∞)上恒成立,
∴a≥-1-lnx.
又当x∈[e2,+∞)时,
lnx∈[2,+∞),∴-1-lnx∈(-∞,-3].
∴a≥-3;
(Ⅱ)若对任意x∈(1,+∞),f(x)>k(x-1)+ax-x恒成立,
即x•lnx+ax>k(x-1)+ax-x恒成立,
也就是k(x-1)<x•lnx+ax-ax+x恒成立,
∵x∈(1,+∞),∴x-1>0.
则问题转化为k<
x•lnx+x
x−1对任意x∈(1,+∞)恒成立,
设函数h(x)=
x(lnx+1)
x−1,则h′(x)=
x−lnx−2
(x−1)2,
再设m(x)=x-lnx-2,则m′(x)=1−
1
x.
∵x∈(1,+∞),∴m′(x)>0,则m(x)=x-lnx-2在(1,+∞)上为增函数,
∵m(1)=1-ln1-2=-1,m(2)=2-ln2-2=-ln2,m(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,m(4)=4-ln4-2=2-ln4>0.
∴∃x0∈(3,4),使m(x0)=x0-lnx0-2=0.
∴当x∈(1,x0)时,m(x)<0,h′(x)<0,∴h(x)=
x(1+lnx)
x−1在(1,x0)上递减,
x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0,∴h(x)=
x(1+lnx)
x−1在(x0,+∞)上递增,
∴h(x)的最小值为h(x0)=
x0(1+lnx0)
x0−1.
∵m(x0)=x0-lnx0-2=0,∴lnx0+1=x0-1,代入函数h(x)=
x(lnx+1)
x−1得h(x0)=x0,
∵x0∈(3,4),且k<h(x)对任意x∈(1,+∞)恒成立,
∴k<h(x)min=x0,∴k≤3,
∴k的值为1,2,3.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了导数在最大值和最小值中的应用,考查了数学转化思想,解答此题的关键是,在求解(Ⅱ)时如何求解函数h(x)=x(lnx+1)x−1的最小值,学生思考起来有一定难度.此题属于难度较大的题目.
1年前
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