已知函数f（x）=[1/2]ax2-lnx（a∈R）．

已知函数f（x）=[1/2]ax2-lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若在区间[1，e]上，函数y=f（x）的图象恒在直线y=1的上方，求a的取值范围；
（3）设g（x）=x3-2bx+1，当a=[1/e]时，若对于任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求b的取值范围．
嫣然yuru620 1年前 已收到1个回答 举报
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xu100202508 春芽

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解题思路：（1）由已知得x＞0，f′(x)＝ax−
1
x
＝
ax2−1
x]，由此根据a的取值范围分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）由题意，对于任意的x∈[1，e]，[1/2
ax2−lnx＞1恒成立，即
1
2
a＞
1+lnx
x2]对于任意的x∈[1，e]恒成立．由此利用构造法结合导数性质能求出a的取值范围．
（3）由已知得存在x2∈（0，1]，使得g（x2）≤f（x1）min．利用导数性质列表讨论，能求出b的取值范围．

（1）x＞0，f′(x)＝ax−
1
x＝
ax2−1
x．…（1分）
若a≤0，则f′（x）＜0恒成立，∴f（x）的减区间为（0，+∞）．…（2分）
若a＞0，令f′（x）=0，得x＝

a
a（x＝−

a
a舍去）．
当x∈(0，

a
a)时，f′（x）＜0，∴f（x）的减区间为(0，

a
a)；
当x∈(

a
a，+∞)时，f′（x）＞0，∴f（x）的增区间为(

a
a，+∞)．…（4分）
（2）由题意，对于任意的x∈[1，e]，[1/2ax2−lnx＞1恒成立，
即

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．

1年前

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