已知函数f（x）=1-eλx（λ∈R且λ≠0）．
已知函数f（x）=1-eλx（λ∈R且λ≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞−1时，f(x)≥
恒成立，求出λ的值．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞−1时，f(x)≥
| x |
| x+1 |
赞 熊猫酿酒师 春芽
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解题思路：（1）由f（x）=1-eλx（λ∈R且λ≠0），得f′（x）=-λeλx，由此能讨论f（x）的单调性．
（2）当x＞-1时，f（x）≥[x/x+1]恒成立等价于（x+1）eλx-1≤0，设g（x）=（x+1）eλx-1（x＞-1），则g（x）≤0恒成立，g（0）=0，g′（x）=（λx+λ+1）eλx，若λ＞0，当x＞0时，有g（x）＞1×1-1=0，故g（x）≤0不恒成立，所以λ＜0，由g′（x）=0，得x0＝−1−
，由此列表讨论得到当f（x）≥
在（-1，+∞）上恒成立时，λ=-1．
（2）当x＞-1时，f（x）≥[x/x+1]恒成立等价于（x+1）eλx-1≤0，设g（x）=（x+1）eλx-1（x＞-1），则g（x）≤0恒成立，g（0）=0，g′（x）=（λx+λ+1）eλx，若λ＞0，当x＞0时，有g（x）＞1×1-1=0，故g（x）≤0不恒成立，所以λ＜0，由g′（x）=0，得x0＝−1−
| 1 |
| λ |
| x |
| x+1 |
（1）∵f（x）=1-eλx（λ∈R且λ≠0），∴f′（x）=-λeλx，当λ＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）是单调递增；当λ＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，+∞）是单调递减．（2）当x＞-1时，f（x）≥xx+1恒...
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查函数单调性的讨论和求不等式恒成立时实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．
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