如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。
| 如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标； （2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，探索并判断四边形CDAN是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明； （3）直线y=mx+2与抛物线交于T，Q两点，是否存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。 |
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（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为
又抛物线经过点N（2，3），所以
， 解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=
令y=0，得
解得：
得A（-1，0） B（3，0） ；
令x=0，得y=3，所以 C（0，3）.
（2）四边形CDAN是平行四边形，理由如下：
直线y=kx+t经过C、M两点，所以
即k=1，t=3
直线解析式为y=x+3.
令y=0，得x=-3，故D（-3，0） CD=
连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.
过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，
则
解得m=1，n=1
所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1
所以DC∥AN.
在Rt△ANF中，AN=3，NF=3，
所以AN=
，所以DC=AN。
因此四边形CDAN是平行四边形.
（3）假设存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点，
设 T（x 1 ，y 1 ） Q（x 2 ，y 2 ）
则由TO 2 +QO 2 =TQ 2 得： x 1 2 +y 1 2 +x 2 2 +y 2 2 =(x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2
化简得：x 1 x 2 + y 1 y 2 =0 ……①
又由y=-x 2 +2x+3 和y=mx+2
消去y得：x 2 +(m-2)x-1=0
此时△=（m-2） 2 +4﹥0 恒成立，
∴x 1 + x 2 =2-m ，x 1 x 2 =-1. ……②
于是 y 1 y 2 =（m x 1 +2）(m x 2 +2)
=m 2 x 1 x 2 +2m(x 1 + x 2 )+4
=-3 m 2 +4m+4 ……③
将②③代入①得： -1-3 m 2 +4m+4=0 ，3 m 2 -4m-4=0
∴ m=
= 
故存在实数m=
使以线段TQ为直径的圆过坐标原点
又抛物线经过点N（2，3），所以
， 解得a=-1 所以所求抛物线的解析式为y=
令y=0，得
解得：
得A（-1，0） B（3，0） ；
令x=0，得y=3，所以 C（0，3）.
（2）四边形CDAN是平行四边形，理由如下：
直线y=kx+t经过C、M两点，所以
即k=1，t=3 直线解析式为y=x+3.
令y=0，得x=-3，故D（-3，0） CD=
连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.
过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，
则
解得m=1，n=1 所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1
所以DC∥AN.
在Rt△ANF中，AN=3，NF=3，
所以AN=
，所以DC=AN。 因此四边形CDAN是平行四边形.
（3）假设存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点，
设 T（x 1 ，y 1 ） Q（x 2 ，y 2 ）
则由TO 2 +QO 2 =TQ 2 得： x 1 2 +y 1 2 +x 2 2 +y 2 2 =(x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2
化简得：x 1 x 2 + y 1 y 2 =0 ……①
又由y=-x 2 +2x+3 和y=mx+2
消去y得：x 2 +(m-2)x-1=0
此时△=（m-2） 2 +4﹥0 恒成立，
∴x 1 + x 2 =2-m ，x 1 x 2 =-1. ……②
于是 y 1 y 2 =（m x 1 +2）(m x 2 +2)
=m 2 x 1 x 2 +2m(x 1 + x 2 )+4
=-3 m 2 +4m+4 ……③
将②③代入①得： -1-3 m 2 +4m+4=0 ，3 m 2 -4m-4=0
∴ m=
= 
故存在实数m=
使以线段TQ为直径的圆过坐标原点
1年前
2
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