过定点（2,1）作直线L,交x,y轴于A,B两点,求AB的最小值

你的题目应该是交x,y正半轴于A,B两点,否则最小值是零；
设∠OAB=α,P(2,1)
|AB|=|AP|+|PB|=(1/sinα)+(2/cosα)=f(α)
f '(α)=-cosα/sin²α+(2sinα)/cos²α=[2sin³α-cos³α]/sin²αcos²α
令f '(α)=0==>tanα=1/(³√2),对应的α是f(α)的唯一极值点,也就是最小值点,
当：tanα=1/(³√2)时,
sinα=1/(√1+³√4)
cosα=(³√2)/(√1+³√4)
|AB|(min)=f(α)(min)=(√(1+³√4)+2(√(1+³√4)/(³√2)=(√(1+³√4)+2(√(1+³√4)*(³√4)/(³√2)*(³√4)
=(√(1+³√4)+2(√(1+³√4)*(³√4)/2
=(√(1+³√4)+(√1+³√4)*(³√4)
=(√(1+³√4)(1+³√4)
=(√(1+³√4)³

设点A(x,0),B(0,y),直线AB过点（2,1)
(1-0)/(2-x) = (1-y)/2
xy-x-2y=0
求 g(x,y)=x^2+y^2 的最小值
令 f(x,y)=x^2+y^2 +λ(xy-x-2y)
f1=2x+λ(y-1)=0
f2=2y+λ(x-2)=0
(y-1)/2x =(x-2)/2y
xy-x-2y=0
解得 y=1+(4)^(1/3) ,x=1+(4)^(-1/3)

设直线为：y-1=k(x-2)
令x=0 b=1-2k
y=0 a=2-1/k
ab=(1-2k)(2-1/k)=4-4k-1/k
(ab)'=-4+1/k^2
k=1/2(舍去） k=-1/2
ab的最小值 ab=4-4(-1/2)-1/(-1/2)=8

设y=kx+b,代入点（2,1）则b=1-2k,k<0;
令y=0，得出直线L与x轴交点A（-b/k，0），即（（2k-1）/k，0）；
令x=0，得出直线L与y轴交点B（0，b）；
AB^2=(（2k-1）^2)/(k^2)+(1-2k)^2,令f（k）=(（2k-1）^2)/(k^2)+(1-2k)^2，求得当k<0时f（k）的最小值

如图：显然，AB长度的最小值为等边直角三角形时的斜边，（即斜边长度为4.24）。