对任意实数k满足直线y=kx+b与椭圆x＝3+2cosθy＝1+4sinθ(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是_

由椭圆

x＝
3+2cosθ
y＝1+4sinθ(0≤θ＜2π)消去参数θ可得：
(x−
3)2
4+
(y−1)2
16＝1，
把y=kx+b代入上式消去y可得：（4+k²）x²+[2k(b−1)−8
3]x+b²-2b-3=0．
∵直线y=kx+b与椭圆恒有公共点，
∴△≥0，即[2k(b−1)−8
3]2−4(4+k2)(b2−2b−3)≥0，
化为k2−2
3k(b−1)−b2+2b+15≥0．
∵上式对任意实数k恒成立，∴△₁≤0，即12（b-1）²-4（-b²+2b+15）≤0，
化为b²-2b-3≤0，解得-1≤b≤3．
故答案为-1≤b≤3．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到x的一元二次方程的判别式△≥0、对于任意实数k一元二次不等式恒成立再转化为△≤0问题等基础知识与基本技能，属于难题．