如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数．

解题思路：先过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O，连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M，再根据切线的判定和性质得，△DBE是正三角形，从而得出四边形AMEH是矩形，由矩形的性质和切线长定理求出∠OEF=75°，∠DEO=∠EOC=30°，从而得出∠DEF的度数．

过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M．
∵E为切点，∴EH必过圆心，即EH是直径，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切点，∴BD=BE，
∵∠B=60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE=∠BAC=60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM=EH，又AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切线，
∴AD=AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，
∴AC与EH的交点O是圆心，
∴OE=OF，
∵∠COE=90°-∠C=30°，∴∠OEF=75°，
∵∠DEO=∠EOC=30°，
∴∠DEF=30°+75°=105°
法二：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
∵BC为切线
∴O为圆心，OE⊥BC．
∵OE=OF
∴∠OFE=∠OEF．
∴∠OEF=∠C+∠FEC，∠FEC=∠OEF-∠C
又∵∠OEC=90°，
∴∠OEF+∠FEC=90°
即2∠OEF-∠C=90°．
∵∠C=60°，
∴∠OEF=75°，∠CEF=15°．
又∵AC∥DE，∠C=60°，
∴∠DEC=120°．
∵∠CEF=15°，
∴∠DEF=105°

点评：
本题考点： 切线长定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质．

考点点评： 本题考查了切线长定理、矩形的判定和性质、切线的判定和性质等知识，综合性强，难度较大．

120度

很简单啊 其实只要把圆心跟D、E连起来就可以知道了 连OD、OE后变可以知道角DOA和角COE是30度 因为OD、OE是半径所以OD=OE 所以可以知道角DOE为120° 而三角形DOE是一个等腰三角形。所以角OED=角ODE=30° 而角DEF就等于角OED和角OEC相加 即30°+90°=120°

120

角DEF为105度.认同 speedgx - 八 的回答.

没解出来！
不过绝对不是120°