设数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 为其前n项和，数列{b n }为等比数列，且a 1 =b 1 =2，S

（I）设等差数列{a _n }的公差为d，等比数列{b _n }的公比为q，
则S ₂ =2a ₁ +d=4+d，S ₄ =4a ₁ +6d=8+6d，b ₂ =b ₁ q=2q，b ₃ =2q ² ，
根据题意可得：S ₂ =5b ₂ ，S ₄ =25b ₃ ，即

4+d=10q
8+6d=50 q 2 ，
解得：

q=
4
5
d=4 或者

q=
2
5
d=0 （舍去），
因为a ₁ =b ₁ =2，数列{a _n }是等差数列，数列{b _n }为等比数列，
所以a _n =4n-2，b _n = 2• (
4
5 ) n-1 ．
（II）因为S _n 是等差数列{a _n }的前n项和，
所以S _n =2n ² ，所以c _n =b _n S _n =4n ² • (
4
5 ) n-1 ．
假设C _n 最大，因为C ₁ =4，C ₂ =
64
5 ，所以C ₁ ＜C ₂ ，所以n≥2．
由C _n 最大，可得：

C n ≥ C n+1
C n ≥ C n-1 ，即

4 n 2 (
4
5 ) n-1 ≥4 (n+1) 2 (
4
5 ) n
4 n 2 (
4
5 ) n-1 ≥4( n-1) 2 (
4
5 ) n-2 ，
化简可得：

n 2 -8n-4≥0
n 2 -10n+5≤0 ，
解得： 4+
20 ≤n≤5+
20 ，
因为4 ＜
20 ＜ 5，
所以8＜n＜10，所以n=9，
即当n=9时，C ₉ 最大．