（2014•汕尾二模）如图，三棱锥C-ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P

（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：∵
AP
PC＝
AQ
QO]，
∴PQ∥CO…（1分）
又∵PQ不包含于平面BCD，CO⊂平面BCD…（2分）
∴PQ∥平面BCD…（3分）
（Ⅱ）由等边△ABD，等边△BCD，O为BD的中点得：
BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O，
∴BD⊥平面AOC…（4分）
又∵PO⊂平面AOC，
∴BD⊥PO…（5分）
在△AOC中，∠AOC=120°，AO＝OC＝
3，
∴∠OAC=30°，AC＝
OA2+OC2−2•OA•OC•cos120°＝3…（6分）
又∵[AP/PC＝2，∴AP=2，
在△APO中，由余弦定理得：PO=1…（7分）
∴PO²+AO²=AP²
∴PO⊥AO…（8分）
又AO∩BD=O，
∴PO⊥平面ABD…（9分）
（Ⅲ）方法一：过P作PH⊥OC于H，连结BH
由（Ⅱ）知BD⊥平面AOC，BD⊂平面BCD，
∴平面BCD⊥平面AOC，…（10分）
∴PH⊥平面BCD，
∴∠PBH为BP与平面BCD所成角…（11分）
在Rt△CPH中，CP=1，∠PCH=30°，∠PHC=90°，
∴PH＝
1
2]…（12分）
在Rt△PBO中，BO=PO=1，∠POB=90°
∴PB＝
2…（13分）
在Rt△PBH中，sin∠PBH＝
PH
PB＝

1
2

2＝

2
4…（14分）
∴BP与平面BCD所成角的正弦值为

2
4．
方法二：建立如图的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(−1，0，0)，C(0，

3
2，
3
2)，P(0，0，1)…（10分）
∴

BP＝(−1，0，1)，

CB＝(1，−

3
2，−
3
2)，

BD＝(−2，0，0)…（11分）
设平面BCD的法向量为

n＝(x，y，z)，


则



n•

CB＝0


n•

BD＝0⇒

x−

3
2y−
3
2z＝0
−2x＝0，
取

n＝(0，−
3，1)…（12分）
设BP与平面BCD所成角为α，
则sinα＝|cos＜

BP，

n＞|＝
|

BP•

n|
|

BP|•|

n|＝

2
4…（14分）
∴BP与平面BCD所成角的正弦值为

2
4．

点评：
本题考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

1年前

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