如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?

没有楼上解得那么麻烦,而且如果知道n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2...+n^2,也不用证了,
思路：只要能证明n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除,n(n+1)(2n+1)就能被6整除.
证：
n,n+1必为一奇一偶,n(n+1)(2n+1)能被2整除.
是否能被3整除,需要分类讨论.
n为3的倍数时,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
n不是3的倍数时,n=3k+1或n=3k+2(k为自然数,包括0）.
n=3k+2时,n+1=3k+2+1=3(k+1),是3的倍数,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
n=3k+1时,2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),是3的倍数,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
综上,n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除,因此能被6整除.

n(n+1)(2n+1)=n(n+1)[2(n+2)-3]
n和（n+1）中必有一个数是偶数能被2整除，
n,（n+1）和（n+2）必有一个数能被3整除，
则n，(n+1)，[2(n+2)-3]必有一个数能被3整除
又因为2与3互质，所以n(n+1)[2(n+2)-3]能被6整除。

反证法(其实要不要反证都一样)：
假设n(n+1)(2n+1)不能被6整除，则
1/6*n(n+1)(2n+1)为分数。
而1/6*n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2+...+n^2
这是个数列求和公式，要证明也可以，用的是构造一个等式模型的方法：
因为（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将n=1,2,3,..分别代入上式可得
...