如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．

解题思路：推出等边三角形ABC，推出∠BAC=∠C=60°，证△ABE≌△CAD，推出∠ABE=∠CAD，求出∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，求出∠PBQ=30°，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．

证明：∵AB=BC=CA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中

AB＝AC
∠BAC＝∠C
AE＝DC
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，
∵BQ⊥AD
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

考点点评： 本题考查了等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠BPQ=60°和∠PBQ=30°．

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠BAE=∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠BAE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
又∵∠BPQ=60°，
∴...

首先通过边角边 证明△ABE全等于△CAD,则角ABE等于角CAD，角ADB等于60度加上角CAD，则角QBD等于30度减角CAD，那么角ABE加上角QBD等于30度，所以角PBQ等于30度，则BP=2PQ

在三角形BAE和ACD中，BA=AC,角BAE＝角ACD，AE=CD，所以两个三角形全等，所以角ABE=角CAD，
角BPQ=角ABE+角BAP＝角CAD+角BAP＝角BAC＝60度，
所以BP=2PQ

1年前