初中竞赛题,答出追加50分在锐角三角形ABC中,1、求证：2sinA>cosB+cosC2、若M点在AC边上,作三角形A

1.
锐角三角形 => 所有角都小于90度
角A + 角B + 角C = 180度
角A + 角B = 180度 - 角C
角A + 角B > 90度
角A > 90度 - 角B
由正弦和余弦定义可知：cosB = sin（90度 - B）
然后又因为当角大小在0~90间时,角越大,角的正弦也越大.
所以sinA > sin（90度 - B）= cosB
同理 sinA > cosC
所以2sinA>cosB+cosC
2.在下面连接的例10
设O、O1分别是△ABM和△CBM外接圆的圆心．两外接圆的公共部分面积是两个以BM为公共弦的弓形面积之和,可以考虑保时弓形的面积最小．
注意到
∠BOM＝2∠BAM＝常数．
∠BO1M＝2∠BCM＝常数．
因此,研究当弓形所对的圆心角固定时,弓形面积与弓形弦的关系．设圆心角为α,弓形弦长为b,那么弓形的面积为
b^2(a-sinA)/(4-4cosA)
由此可见,上图中若BM越小,则每个弓形的面积越小、所以当BM是△ABC的高,即BM⊥AC,M为垂足时,两外接圆公共部分的面积最小．

初中竞赛题?