证明：已知a.b.c为正数,根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=根号2(a+b+c

基本不等式
a^2+b^2>=2ab
2a^2+2b^2>=a^2+2ab+b^2
√(2a^2+2b^2)>=a+b
同理√(2a^2+2c^2)>=a+c
√(2c^2+2b^2)>=c+b 相加得
√(2a^2+2b^2)+√(2a^2+2c^2)+√(2c^2+2b^2)>=a+b+a+c+c+b=2(a+b+c)
√2[√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)]>=2(a+b+c)
所以√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)>=（√2）(a+b+c)

有一个不等式：
√[2(x²+y²)]≥x+y.
用它就可以了。