H和K是群G的子群,则HK为G的子群的充分必要条件是HK=KH.

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对任何a属于KH,一定存在k属于K,h属于H,使得kh=a
于是h^(-1)k^(-1)属于HK
因为HK是G的子群
所以(h^(-1)k^(-1))^(-1)属于HK
而(h^(-1)k^(-1))^(-1)=kh=a
所以a属于HK
所以KH是HK的子集
反之,对任何b属于HK,一定存在h属于H,k属于K,使得hk=b
因为HK是G的子群
所以k^(-1)h^(-1)也属于HK
于是必存在h1属于H,k1属于K,使得k^(-1)h^(-1)=h1k1
于是两边取逆,得：hk=k1^(-1)h1^(-1)
而k1^(-1)h1^(-1)属于KH
所以b=hk属于KH
所以HK是KH的子集
于是HK=KH