（2010•江苏模拟）已知圆M：x2+（y-2）2=1，设点B，C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，

解题思路：（1）由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，因为P在直线l上，所以设P的坐标为（a，2a），然后由M和P的坐标，利用两点间的距离公式表示出MP的长，根据MP＝

5

列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到P的坐标，设过P点切线方程的斜率为k，根据P的坐标和斜率k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离公式等于半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心M到切线方程的距离d，让d等于圆的半径r，即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线PA的方程即可；
（2）根据圆的切线垂直于过切点的半径得到AP垂直AM，所以三角形APM为直角三角形，所以外接圆圆心D为斜边PM的中点，根据M和设出的P的坐标利用中点坐标公式表示出D的坐标，然后利用两点间的距离公式表示出OD的长，得到关于a的函数为开口向上的抛物线，分三种情况：[t/2]大于抛物线顶点的横坐标，[t/2]小于抛物线顶点的横坐标小于[t/2]+2，和[t/2]+2小于顶点的横坐标，利用二次函数的图象即可求出函数的最小值．线段DO长的最小值L（t）为一个分段函数，写出此分段函数的解析式即可．

（1）由圆M：x²+（y-2）²=1，得到圆心M（0，2），半径r=1，
设P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵M(0，2)，MP＝
5，∴
(2a)2+(a−2)2＝
5．
解得a=1或a＝−
1
5（舍去）．
∴P（2，1）．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．
所以直线PA的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直线PA与圆M相切，
∴
|−2−2k+1|

1+k2＝1，
解得k=0或k＝−
4
3．
∴直线PA的方程是y=1或4x+3y-11=0；
（2）设f(a)min＝f(
t
2+2)＝
5
4(
t
2+2)2+(
t
2+2)+1＝
15
16t2+3t+8
∵PA与圆M相切于点A，∴PA⊥MA．
∴经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点．
∵M（0，2），∴D的坐标是(a，
a
2+1)．
设DO²=f（a）．
∴f(a)＝a2+(
a
2+1)2＝
5
4a2+a+1＝
5
4(a+
2
5)2+
4
5．
当

点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 此题考查学生掌握直线与圆相切是所满足的条件，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，灵活运用二次函数求最值的方法解决实际问题，是一道比较难的题．