已知：实数 x y z 不全为 0 求证：√x2+xy+y2 + √y2+yz+z2 + √z2+zx+x2 >3/2

已知：实数 x y z 不全为 0 求证：√x2+xy+y2 + √y2+yz+z2 + √z2+zx+x2 >3/2 (x+y+z)
dq1uci 1年前 已收到2个回答 举报
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千鸟影 春芽

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x^2+xy+y^2=(x+y/2)^2+3/4*y^2>=(x+y/2)^2,所以,sqrt(x^2+xy+y^2)>=abs(x+y/2),同理,sqrt(y^2+yz+z^2)>=abs(y+z/2),sqrt(z^2+xz+x^2)>=abs(z+x/2),以上三式相加得结果,注意到x,y,z不全为0,所以等号不能成立.
其中abs(x)代表x的绝对值,sqrt(x)代表求根号x.

1年前

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云切留住 幼苗

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=√x2+xy+y2 + √y2+yz+z2 + √z2+zx+x2
=√(x+y/2)^2+3/4y^2+√(y+z/2)^2+3/4z^2+√(z+x/2)^2+3/4x
因为x y z 不全为 0,所以
>√(x+y/2)^2+√(y+z/2)^2+√(z+x/2)^2
=(x+y/2)+(y+z/2)+(z+x/2)
=3/2 (x+y+z)

1年前

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