a、b、c、x均为整数,ax²+bx+c是3的整数,证明abc是27的整数.
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第二十三届的希望杯第二试试题,
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x=0时,ax²+bx+c=c为3的倍数,所以c=3m (1)
x=1时,ax²+bx+c=a+b+c为3的倍数,所以a+b+c=3s (2)
x=-1时,ax²+bx+c=a- b+c为3的倍数,所以a- b+c=3t (3)
(2)+(3) 2a+2c=3(s+t) 2(a+c)=3(s+t) 2|3(s+t) 2|s+t
a+c=3n (n=(s+t/2)) a=3n-c=3n-3m=3(n-m)=3p
(2)-(3) 2b=3(s-t) 同理：b=3q
所以：abc=3m*3p*3q=27mpq
所以：abc是27的倍数.
x=1时,ax²+bx+c=a+b+c为3的倍数,所以a+b+c=3s (2)
x=-1时,ax²+bx+c=a- b+c为3的倍数,所以a- b+c=3t (3)
(2)+(3) 2a+2c=3(s+t) 2(a+c)=3(s+t) 2|3(s+t) 2|s+t
a+c=3n (n=(s+t/2)) a=3n-c=3n-3m=3(n-m)=3p
(2)-(3) 2b=3(s-t) 同理：b=3q
所以：abc=3m*3p*3q=27mpq
所以：abc是27的倍数.
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