已知a,b,c是不全相等的正数,求证：(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>16abc.

ab+a+b+1>=4*(a*b*a*b*1)^1/4
等号当且仅当a=b=1时成立
ab+ac+bc+c*c>=4*(ab*ac*bc*c*c)^1/4
等号当且仅当a=b=c时成立
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)>=16abc
等号当且仅当a=b=c=1时成立
由于a b c是不全相等的正数,
所以(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)大于16abc
或者：
原式=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)
a+1>=2根号a 当且仅当a=1时取等号
b+1>=2根号b 当且仅当b=1时取等号
a+c>=2根号ac 当且仅当a=c时取等号
b+c>=2根号bc 当且仅当b=c时取等号
又因为a和b不同时等于1
abc都不相等
所以上面4项至多有一项取等号 且取等号的项>1
所以原式>2根号a*2根号b2根号ac*2根号bc=16abc