如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D 1 -AC-B为直二面

（1）以点B为坐标原点，平面ABC为xOy平面，BC，BA方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）．
在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，则H即为D ₁ 在平面ABC上的射影．
∵AB=4，AD=3，∴AC=5， DH=
12
5 ，HN=
27
25 ，HM=
64
25 ， D 1 (
27
25 ，
64
25 ，
12
5 ) ，…（6分）
∴

A D 1 =(
27
25 ，
64
25 ，
12
5 )-(0，4，0)=(
27
25 ，
-36
25 ，
12
5 ) ，

DC =(3，0，0)-(3，4，0)=(0，-4，0) ，
所以 cos＜

A D 1 ，

DC ＞=


A D 1 •

DC
|

A D 1 ||

DC | =
12
25 ．…（10分）
（2）设平面D ₁ BC的法向量为

n =(a，b，c) ，

BC =(3，0，0)，

BA =(0，4，0) ，
∵

n •

BC =0 ，

n •

D 1 B =0 ，∴

a=0
27a+64b+60c=0 ∴

n =(0，-15，16) ．
设平面D ₁ BA的法向量为

m =(x，y，z) ，
∵

m •

BA =0 ，

m •

D 1 B =0 ，
∴

y=0
27x+64y+60z=0 ，∴

m =(-20，0，-9) ．…（14分）
∴ cos＜

m ，

n ＞=


m •

n
|

m |•|

n | =-
144
481 ，
∴ sinθ=
1- (
144
481 ) 2 =
25
337
481 ．…（16分）

1年前