在正方形abcd中,e,f分别是ab,bc的中点,af与de相交于点p.求证cp＝cb

证明：延长af与dc的延长线相交于点g
因为abcd是正方形
所以ab=cd=cb
角ead=角abf=角adc=90度
ab平行dc
所以角fab=角fgc
角fba=角fcg
因为f是bc的中点
所以bf=cf=1/2bc
所以三角形abf和三角形gcf全等（AAS)
所以ab=cg
所以cd=cg=1/2dg
所以pc是三角形dpg的中线
因为e是ab的中点
所以ae=be=1/2ab
所以ae=bf
因为ad=ab(已证）
角dae=角fba=90度（已证）
所以三角形bde和三角形abf全等（SAS)
所以角baf=角eda
所以角eda=角fgc
因为角eda+角pdc=角adc=90度
所以角edc+角pgc=90度
因为角dpg+角fgc+角 pdc=180度
所以角dpc=90度
所以pc是直角三角形dpg的中线
所以cp=cd=cg=1/2dg
所以cp=cd=c

由AD=AB,∠DAB=∠ABF=90°，AE=BF，
所以△ABF≌△DAE，∠AED=∠AFB，
所以△AEP∽△AFB
推出AE/AF=AP/AB，设BF=1
则有AP=2√5/5，AF=√5
过P做PQ垂直BC交BC与Q
PQ/AB=FQ/FB=3/5，所以有PQ=6/5,FQ=3/5
所以PC^2=PQ^2+CQ^2有PC=2=CB

延长AF,DC交于点G

可由AD=AB,角DAE=ABF,AE=BF证得三角形ADE与BAF全等

所以角ADE=BAF

因为角BAF+FAD=90度

所以角ADE+FAD=90度

所以角DPA=90度

所以角DPG=90度

由角GCF=ABF,CF=BF,角CFG=BFA得三角形CFG与BFA全等

所以GC=AB

在三角形GPD中,角GPD=90度,GC=AB=CD

所以PC=1/2GD,即CP=CD=CB

因为AD=AB, ∠DAB=∠ABF=90°，AE=BF，
所以△ABF≌△DAE，又因为∠AED=∠AFB，所以△AEP∽△AFB
有AE/AF=AP/AB，
则有AP=2√5/5BF，AF=5BF
过P做PQ垂直BC交BC与Q
PQ/AB=FQ/FB=3/5，所以有PQ=6/5,FQ=3/5
所以PC^2=PQ^2+CQ^2,
有PC=CB