证明方程m*(m+1)-n*(n+1) = 2k有整数解的条件是k不能表示为一个2的整数次幂.

证明方程m*(m+1)-n*(n+1) = 2k有整数解的条件是k不能表示为一个2的整数次幂.
补充下条件m>n+1>0
或者可以这么说，任何一个不是2的整数次幂的整数都能表示为2个或2个以上连续自然数的和。
3楼的证明只是必要性，还有充分性
wxming930 1年前 已收到6个回答 举报
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yanhm945 幼苗

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方程变形为：(m＋n＋1)(m－n)＝2k
若该方程有整数解,由方程左边m＋n＋1与m－n奇偶性不同知,必有一个为奇数
又m＞n＋1,m－n＞1,m＋n＋1＞2(n＋1)＞0
从而m－n≥2,m＋n＋1≥2
因此方程左边必有一个大于2的奇因数,从而右边k中也必有一个大于2的奇因数
即k不能表示为一个2的整数次幂
若该方程满足k不能表示成一个2的整数次幂,不妨设k＝2^r·a(r是正整数,a为大于2的奇数)
∴(m＋n＋1)(m－n)＝2k＝2^(r＋1)·a
令m＋n＋1＝a,m－n＝2^(r＋1)
即有：m＋n＝a－1,m－n＝2^(r＋1)
故m＝1/2[a－1＋2^(r＋1)]是整数,n＝1/2[a－1－2^(r＋1)]也是整数

1年前

5

BT搜索gg 幼苗

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先看必要性，2k=m*(m+1)-n*(n+1)=(m+n+1)(m-n)
因为(m+n+1)-(m-n)=2n+1
所以m+n+1、m-n不同奇偶
又由已知m+n+1、m-n均不小于2
故m+n+1、m-n中有一个是大于2的奇数，此奇数必含有大于2的质数因子
故(m+n+1)(m-n)含有大于2的质数因子，即2k含有大于2的质数因子
所以k不能表示...

1年前

2

天山秋水 幼苗

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证明
m*(m+1)-n*(n+1)
=m^2+m-n^2-n
=(m+n+1)(m-n)
假设，k可以表示成为2的整数次幂，即k=2^u
首先k不小于零，如果u<（-1），则（m+n+1)(m-n)<1显然不可能。
u=-1，（m+n+1)(m-n)=1 则n=-0.5，不可能。
k>0时，设2k=2^（a+b）=2^a*2^b
...

1年前

1

爱是小猪 幼苗

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m*(m+1)-n*(n+1)=(m+n+1)(m-n)
先证：m*(m+1)-n*(n+1) = 2k有整数解的充分条件是k不能表示为一个2的整数次幂
设k可表示为2的整数次幂，即k=2^Z
首先k不小于零，如果p<-1，（m+n+1)(m-n)<1 不可能。
p=-1，（m+n+1)(m-n)=1 则n=-0.5，不可能。
k>0时，设2k=2^（p+q...

1年前

1

qafnag 幼苗

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充分性：
即证明：若方程m*(m+1)-n*(n+1) = 2k有整数解，则k不能表示为一个2的整数次幂。
m*(m+1)-n*(n+1)=(m-n)(m+n+1)，你会发现，不管m,n取奇数或者偶数，(m-n)(m+n+1)肯定其中一个是奇数，一个是偶数
若k为一个2的整数次幂，则2k不含有奇数因子，则等式两边不可能成立。
现证明必要性：
即证明：若k不表...

1年前

0

三级消防队员 幼苗

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题目有问题？
m=4,n=3,k=4满足
此时k=2^2

1年前

0
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