在等腰直角三角形中,AB=AC,点D是斜边BC的中点,菪
在等腰直角三角形中,AB=AC,点D是斜边BC的中点,菪
已知三角形ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE垂直DF,求证BE的平方加CF的平方等于EF的平方
已知三角形ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE垂直DF,求证BE的平方加CF的平方等于EF的平方
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证明：连接AD,
∵等腰直角三角形ABC,
∴∠C=∠B=45°,
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B,∠ADC=90°,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=90°,
∴∠ADF+∠FDC=90°,∠FDC+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中
∠B=∠DAF BD=AD ∠BDE=∠ADF,
∴△BDE≌△ADF,
∴DE=DF．
∵△BDE≌△ADF,
∴BE=AF,
∵∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠EDA=∠FDC,
在△ADE和△CDF中
∠EDA=∠FDC ∠EAD=∠C DE=DF ,
∴△ADE≌△CDF,
∴CF=AE,
∴EF2=AE2+AF2=BE2+CF2,
即BE2+CF2=EF2．
∵等腰直角三角形ABC,
∴∠C=∠B=45°,
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B,∠ADC=90°,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=90°,
∴∠ADF+∠FDC=90°,∠FDC+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中
∠B=∠DAF BD=AD ∠BDE=∠ADF,
∴△BDE≌△ADF,
∴DE=DF．
∵△BDE≌△ADF,
∴BE=AF,
∵∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠EDA=∠FDC,
在△ADE和△CDF中
∠EDA=∠FDC ∠EAD=∠C DE=DF ,
∴△ADE≌△CDF,
∴CF=AE,
∴EF2=AE2+AF2=BE2+CF2,
即BE2+CF2=EF2．
1年前
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