设函数f（x）=lnx+ex，g（x）=ex+12x2-ax（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数）（1）当a

（1）当a=[3/2]，设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-[1/2]x²+[3/2]x，
则F（x）的定义域为（0，+∞），
则F′（x）=[1/x]-x+[3/2]=?
(2x+1)(x?2)
2x，
由F′（x）＞0，解得0＜x＜2，此时函数单调递增．
F′（x）＜0，解得x＞2，此时函数单调递减．
（2）设F（x）=lnx-[1/2]x²+[3/2]x的定义域为[m，n]，假设存在“同域区间”，
则由（1）知，F（x）在区间（0，2）上单调递增，
即

F(m)＝m
F(n)＝n，则

lnm?
1
2m2+
3
2m＝m
lnn?
1
2n2+
3
2n＝n，
也就是方程lnx-[1/2x2+
3
2]=x在区间（0，2）上存在两个相异的实根，
即2lnx-x²+x=0在区间（0，2）上存在两个相异的实根，
即T（x）=2lnx-x²+x，则T′（x）=[2/x]-2x+1单调递减，
当x∈（0，2）时，T′（x）=[2/x]-2x+1＜0，
设m（x）=T′（x）=[2/x]-2x+1，
则m（[1/e]）=2e+1-[2/e]＞0，m（2）=-2＜0，即在区间（[1/e]，2）上必存在唯一的点x₀∈（[1/e]，2）使m（x₀）=0，
当x∈（[1/e]，x₀），m（x）＞0，此时函数m（x）单调递增，
当x∈（x₀，2），m（x）＜0，此时函数m（x）单调递减，
T（[1/e]）=
e(?2e+1)?1
e2＜0，
∵m（1）=1＞0，∴x₀＞1，即T（x）在（1，x₀）上递增，
T（x₀）＞T（1）=0，T（2）=2ln2-4+2=2ln2-2=2（ln2-1）＜0，
∴T（x）=2lnx-x²+x，在区间（[1/e]，2）上有两个不相等的解，
即方程2lnx-x²+x=0在区间（[1/e]，2）上有两个不相等的实根，
从而函数F（x）在区间（0，2）内存在“同域区间”；
（3）不妨设2＜x₁＜x₂＜3，则f（x）=lnx+e^x，在区间（2，3）上单调递增，
则有|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等价为|g（x₁）-g（x₂）|＜f（x₂）-f（x₁），
则f（x₁）-f（x₂）＜|g（x₁）-g（x₂）|＜f（x₂）-f（x₁），
即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂）且g（x₁）+f（x₁）＜g（x₂）+f（x₂）恒成立，
从而f（x）-g（x）在（2，3）上单调递增，求f（x）+g（x）在（2，3）上单调递增，
即[f（x）-g（x）]′＞0，[f（x）+g（x）]′＞0，
∴命题等价为当x∈（2，3）下


1
x?x+a≥0

1
x+2ex+x?a≥0恒成立，
即

a≥x?
1
x
a≤x+
1
x+2ex，解得
8
3≤a≤
5
2+2e2．