求积分中值定理的证明在证明过程中能不能不用最小最大值定理?

这个定理的推导比较复杂,牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x,下限为常数a）.以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分.
首先需要证明,若函数f(x)在[a,b]内可积分,则Φ(x)在此区间内为一连续函数.
证明：给x一任意增量Δx,当x+Δx在区间[a,b]内时,可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt + ∫f(t)dt
= Φ(x) + ∫f(t)dt
即
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt
应用积分中值定理,可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m0,即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续,则Φ(x)在此点有导数,为
Φ'(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到,对于任意的ε>0,总存在一个δ>0,使|Δx|