若原点O和点F（-3，0）分别是双曲线x2a2−y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP•
若原点O和点F（-3，0）分别是双曲线
−y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则
•
的取值范围为（ ）
A．[8+6
，+∞）
B．[-3，+∞）
C．[-[1/8]，+∞）
D．[[1/8]，+∞）
| x2 |
| a2 |
| OP |
| FP |
A．[8+6
| 2 |
B．[-3，+∞）
C．[-[1/8]，+∞）
D．[[1/8]，+∞）
赞 当当和叮当 幼苗
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解题思路：先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示
•
，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得
•
的取值范围．
| OP |
| FP |
| OP |
| FP |
设P（m，n），则
OP•
FP=（m，n）•（m+3，n）=m2+3m+n2．
∵F（-3，0）是双曲线
x2
a2−y2=1（a＞0）的左焦点，
∴a2+1=9，∴a2=8，
∴双曲线方程为
x2
8−y2＝1，
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴
m2
8−n2＝1(m≥2
2)，
∴n2=
m2
8-1，
∵
OP•
FP=（m，n）•（m+3，n）=m2+3m+n2，
∴m2+2m+n2=m2+3m+
m2
8-1=[9/8]m2+3m-1
∵m≥2
2，
∴函数在[2
2，+∞）上单调递增，
∴m2+3m+n2≥8+6
2，
∴
OP•
FP的取值范围为[8+6
2，+∞）．
故选：A．
点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．
考点点评： 本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
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