在正方体ABCD-A1B1C1D1中E是BC的中点,F在AA1上,A1F:FA=1:2求平面B1EF与底面A1B1C1D

本题需要构造二面角.令正方体棱长为1
过F作FG//B1E交AD于G,则⊿AFG∽⊿BB1E,易得AG=1/3
连接GE,则平面B1EF与平面EB1FG为同一平面,显然EG为平面B1EF或平面EB1FG与底面ABCD的交线
过B作BH⊥EG交EG于H,连接B1H.而BB1⊥EG（垂面垂线）,BB1交BH于平面BB1H,则EG⊥平面BB1H,进而有B1H⊥EG.可知∠BHB1为平面B1EF与底面ABCD所成角
在直角梯形ABEG中,过G作GK⊥BE交于K,易得EG=√37/6.而⊿BHE∽⊿GKE,有BH=3√37/37
在RT⊿BB1H中,tan∠BHB1=BB1/BH=√37/3,即∠BHB1=arctan√37/3
因为平面ABCD//平面A1B1C1D1,平面B1EF与底面ABCD所成角就是平面B1EF与底面A1B1C1D1所成角,所求即arctan√37/3

此题目首先要得到“截面”的情况。截面有了三个点了，第四个（或者还有第五个第六个，最多截面有六个顶点）的位置在哪里？我们可以根据“两个平面平行，被第三个平面所截，交线平行”的定理。左侧面与右侧面平行，B1E在右侧面上。延长B1F与BA相交于点S，连结SE，交AD于K。连结FK，则四边形（其实是梯形）FKEB1就是我们需要的截面。

第二步，根据二面角的平面角的定义，想办法找到一个平面角。我们过K引交线（也就是二面角的棱）的垂线段KH垂直于KE，引HN垂直于AB交FB1于N。则角NKH就是二面角的平面角。只要求出NH/HK，就是角的正切。

第三步，计算数据。我把图画出来了，自己一看就明白了。用简单的三角形相似比一算就行。我粗粗一算，可能是（√37）／3的反正切。你再算算。

延长EF，与平面AEF交于G，取H为B1C1中点，则G在AEHG平面上，作HI垂直B1G，可以证明所求夹角正切为EH/B1G，高正方体边长为2，可求EH＝2，B1G＝6sqrt(37)/37，因而所夹角为arctan(sqrt(37)/3)。