a,b,c是不全相等的正数,证明ab/c+bc/a+ca/b>a+b+c

由均值不等式
ab/c+bc/a>=2根号(ab/c*bc/a)=2b
bc/a+ca/b>=2根号(bc/a*ca/b)=2c
ca/b+ab/c>=2根号(ca/b*ab/c)=2a
若要同时取等号则ab/c=bc/a=ca/b
ab/c=bc/a
a^2=c^2
是正数,a=c
同理,bc/a+ca/b则a=b
所以a=b=c
和a,b,c是不全相等的正数矛盾
所以等号不能同时取到
相加
2(ab/c+bc/a+ca/b)>2(a+b+c)
所以ab/c+bc/a+ca/b>a+b+c

ab/c+bc/a+ca/b
=1/2[(ab/c+bc/a)+(ab/c+ca/b)+(bc/a+ca/b)]
>=1/2[2根号(ab/c*bc/a)+2根号(ab/c*ca/b)+2根号(bc/a*ca/b)]
=1/2（2b+2a+2c)
=a+b+c
所以得证