如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）、B（4，0），∠OCA=∠OBC．

解题思路：（1）要求抛物线的解析式，由题意知只需要求出点C的坐标即可，而点C的坐标可以根据△AOC∽△COB求得．
（2）要求点M的坐标，根据平行四边形的性质两组对边分别平行且相等来确定点M的坐标．
（3）根据抛物线的对称性可知⊙P的圆心在对称轴上，再根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等得知PC=PA，根据两点间的距离公式可以求出点P的坐标．

（1）∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•BO=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）．（1分）
由题意，设抛物线解析式y=a（x-1）（x-4）．
∴a（0-1）（0-4）=0，
∴a＝
1
2．
∴y＝
1
2x2−
5
2x+2；（2分）
（2）M₁（3，2）或M₂（-3，2）或M₃（5，-2）；（3分）
（3）由（1）可得，抛物线y＝
1
2x2−
5
2x+2的对称轴是直线x＝
5
2，（1分）
∵⊙P经过点A、B，
∴圆心P在直线x＝
5
2上，设P(
5
2，y)．（1分）
∵点C在⊙P上，∴PC=PA，
∴(
5
2−0)2+(y−2)2＝(
5
2−1)2+y2，（2分）
解得y=2．（1分）
∴P(
5
2，2)．（1分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是一道二次函数的综合题，要求学生能根据已知三点坐标求二次函数的解析式，把平行四边形的性质和平面直角坐标系点的坐标结合起来，在求⊙P的坐标时运用了抛物线的性质．是一道综合性较强的试题．

(1)y=ax^2+bx+c可以转换为y=(x+a)(x+b) 由与x轴交于点A（1,0），B（4，0）
y=（x-1）（x-4）=x^2-5x+4 (这种方法是一种做求抛物线解析式的简便方法，简单又容易）
（2）有三个M点，分别在第一象限，第二象限，第四象限。
由抛物线解析式得C（0，4） M1(3,4) M2(5,-4) M3(-2,4)