线性代数中,为何从秩,直接看出特征值?

这是秩为1的特殊矩阵,有关结论如下:
设A是秩为1的n阶方阵,则
1.A可表示为αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0).
反之,若A=αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0),则r(A)=1.
2.A^k = (β^Tα)^(k-1)A
3.A的特征值为 α^Tβ(=β^Tα),0,0,...,0
4.tr(A)=α^Tβ
说明:
1.方法:取A的一个非零的行向量,设为 β^T,
则其余各行是此行的ki倍.
令α=(k1,...,kn)^T,则 A=αβ^T.
比如
1 2 3
2 4 6
0 0 0
β=(1,2,3)^T,α = (1,2,0)^T
反之,若A=αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0)
则 A≠0,所以 r(A)>=1
又因为 r(A)=r(αβ^T)