广义积分的敛散性不是说发散加发散可以收敛吗?比如x和-x,在x趋近于正无穷时.但是书上关于广义积分那一节,积分上限为正无

广义积分的敛散性
不是说发散加发散可以收敛吗?比如x和-x,在x趋近于正无穷时.但是书上关于广义积分那一节,积分上限为正无穷,下限为负无穷,拆成一个上限为正无穷,下限为c和上限为c,下限为负无穷两个广义积分之和.然后特别说明只有后两者都收敛,之前那个广义积分才收敛,只要有一个发散,那之前那个广义积分就发散.那发散+发散=收敛不是也可以吗?还有上下限为a,b,中间含了一个瑕（奇）点c,拆成上下限a,c和c,b之和,也是要求后两者都收敛,前者才收敛.这到底是怎么回事?
231540010 1年前 已收到1个回答 举报
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米奇jie 幼苗

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之所以要要2个都收敛,是因为那2个极限里面的趋近过程是独立的.
比如∫(-1→1)dx/x,这个转化为∫(-1→0)dx/x+∫(0→1)dx/x,也就是lim(a→0-)∫(-1→a)dx/x+lim(b→0+)∫(b→1)dx/x.这里a和b是独立的,没有a+b=0这种美好的关系.这样,a比b趋近得慢一些就会使得出的值不等于那个理想的0,也就是说没有极限.

1年前 追问

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231540010 举报

说的有一定道理。那么发散+发散=收敛应该怎么理解？或者说该如何区分发散+发散是否收敛？ 还有就上面你举的那个例子，从定积分的几何意义上来讲，由对称性在(-1→1)上面积应该相等，而符号刚好相反，定积分应该=0，这又该如何解释？

举报 米奇jie

你所谓的发散+发散=收敛其实是由于趋近的过程中自变量是有某种关系的，比如lim(x→+∞)x+(-x)其实是lim(a→+∞)a+lim(b→+∞)(-b)这个极限里面有a=b这个关系。 至于你说的对称性，那个定积分有专门的名称，叫主值意义下的定积分。在这里是规定了趋近时的关系的。
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