（本题12分）在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BCD=90,且AB=1,BC=2，tan∠ADC=2;对角线相交于O点，

（1）当三角板旋转到图1的位置时， DE=BF,证明略。

（2）sin∠BFE= 。

（3）PE= ， DH= 。




分析：

（1）相等，证DE与BF所在的三角形全等即可；

（2）易得∠BEF=90°，那么可得到△BEF各边的比值进而求解；

（3）根据△CFP∽△CDO，利用相似三角形的性质解答。



（1）当三角板旋转到图1的位置时，DE=BF，



∵∠ECB+∠BCF=90°，∠DCE+∠ECB=90°，

∴∠DCE=∠BCF．

∵∠BCD=90°，AB∥CD

∴∠ABC=90°，∠BAC=∠ACD，

∵BC=2，AB=1，

∴tan∠BAC=2，

∵tan∠ADC=2，

∴∠BAC=∠ADC，

∴∠ACD=∠ADC，

∴AD=AC，

作AM⊥CD于点M，

∴CD=2MC=2AB=2，

∴CD=BC．

∵EC=CF，

∴△DCE≌△BCF．

∴DE=BF。

（2）∵∠BEC=135°，∠FEC=45°，

∴∠BEF=90°．

∵BE：CE=1：2，

∴BE：EF=1：2 ．

∴sin∠BFE=BE：BF=1/3。

（3）



∵△CFP∽△CDO，

CF：CD=CP：CO=PF：DO

AC= ，

AO：CO=1：2，CO=2 /3，

CF=2 /3- /6= /2，

/2：2=CP：2 /3，

CP=5/6，

∵DB=2 ，BO：DO=1：2，

∴DO=4 /3，

∴PF= /3，PE= /6。

DP=2-5/6=7/6，

作CN垂直PF于N，

DH：CN=DP：CP，

得DH：7 /20。
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