微积分,对偶微分习题：设{r,θ,φ}是3维欧式空间的球坐标,证明 *dr=(r^2sinθ)=dθ^dφ

那第一个等号应该是乘号吧?
我的理解是这样的.先说原来的Cartesian坐标系,有一个“体积元”dxdydz（外积的符号不好敲,我给省了）,它给出了三维空间的一个定向（通常所谓右手坐标系）.如果采用另一个体积元dydxdz作为定向,那就是左手坐标系.这个或许你早知道,如果你比较了解微分形式的外积运算的话.
那么w=dxdydz给出一个定向的条件是w总有定义并且非0.比如说xdxdydz就不能给出一个定向,因为在x=0平面上它是0；drdθdφ也不能,因为在r=0时另两个参数无法定义.
在给定定向w=dxdydz的前提下,可以看出,在dx上补上一个dydz就可以凑成w,这时说*(dx) = dydz.也就是说这个对偶算子*取决于w的.
现在要证明*（dr(r^2sinθ)）=dθdφ,这要说明dr(r^2sinθ)dθdφ是一个体积元就行了,根据球坐标变换,它就是w=dxdydz,因此以w为这个空间的定向,那就有这个要证的式子.请再次注意,drdθdφ本身不能用来定向整个空间,因为它在r=0时没有定义.