I为三角形ABC内心,且A’、B’、C’分别为三角形IBC、ICA、IAB的外心,求证,三角形ABC与三角形A’B’C’

I为三角形ABC内心,且A’、B’、C’分别为三角形IBC、ICA、IAB的外心,求证,三角形ABC与三角形A’B’C’有相同的外心.
请给出完整的推理过程.

下子沉醉 1年前已收到13个回答举报

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此题分两种情况：
一、当三角形ABC为等边三角形时：
因为A’、B’、C’分别为三角形IBC、ICA、IAB的外心,所以,作图可以知道,A’B=A’C=A’I B’A=B’C=B’I C’A=C’B=C’I
又因为I为三角形ABC内心,可以知道IA=IB=IC
根据三角形法则,可以证明出A’B=A’C=A’I=B’A=B’C=B’I=C’A=C’B=C’I 即 A’I=B’I=C’I 由外心定义可知,圆I为三角形A’B’C’的外心
又因为I为三角形ABC外心,所以三角形ABC与三角形A’B’C’有相同的外心.
二、当三角形ABC为不规则三角形时：
因为A’、B’、C’分别为三角形IBC、ICA、IAB的外心,所以,作图可以知道,A’B=A’C=A’I B’A=B’C=B’I C’A=C’B=C’I
又因为I为三角形ABC内心,可以知道IA=IB=IC
做辅助直角三角形,用直角三角形定理可以求得A’B=A’C=A’I=B’A=B’C=B’I=C’A=C’B=C’I 即 A’I=B’I=C’I 由外心定义可知,圆I为三角形A’B’C’的外心
又因为I为三角形ABC外心,所以三角形ABC与三角形A’B’C’有相同的外心.

1年前

心如青草春芽

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应该有相同的外心

1年前

不放弃赵广霞幼苗

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是那一级的啊！

1年前

情感夜归人幼苗

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解这道题目必须要了解三角形外心与内心的概念，内心：三角形角平分线的交点；外心：中垂线的交点。利用这概念以及图形解此题
对不起对不起，我写错了
不过我有在想希望你刚才没有看
不好意思

1年前

yybyyb 幼苗

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【证】
作△ABC的外接圆Γ，延长AI交圆Γ于A"，连BA"、CA"，易知
A"B=A"I=A"C．即A"是△BIC的外心，
即A"与A′重合．
同理，B′与B〃、C′与C"分别重合．
因此，△ABC与△A′B′C′有同一个外接圆，△ABC与△A’B’C’有相同的外心。

1年前

金义幼苗

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当三角形ABC为等边三角形时：
因为A’、B’、C’分别为三角形IBC、ICA、IAB的外心，所以，作图可以知道，A’B=A’C=A’I B’A=B’C=B’I C’A=C’B=C’I
又因为I为三角形ABC内心，可以知道IA=IB=IC
根据三角形法则，可以证明出A’B=A’C=A’I=B’A=B’C=B’I=C’A=C’B=C’I 即 A’I=B’I=C’I 由外...

1年前