如图,在三角形ABC中,AB=4,AC=6,BC=5,O、I分别为三角形ABC的外心和内心,求证：OI垂直AK

/>设AK与BC的交点为E.根据角分线性质可知BE:EC=AB:AC=2:3,而BE+EC=5,解得BE=2,EC=3
如图,分别取AB、AC中点D、F,连接DI、DO、DF、OA、OF
∵BD=AB/2=2,∴BD=BE.又∵I是内心,∴BI是∠ABC的平分线,于是ΔBDI≌ΔBEI(角边角)于是ID=IE.设ID=IE=x
根据角分线性质可知AI:IE=AB:BE=2,于是AI=2IE=2x,AE=3x
∵AB:AI=4:(2x)=2:x,AC:AE=6:(3x)=2:x,∴AB:AI=AC:AE又∵∠BAI=∠CAE,∴ΔBAI∽ΔCAE,∴∠ABI=∠ACB,BI:AB=CE:CA=1/2,即BI=2∴BI=BD=BE,∠BDI=∠BID=∠BIE
于是∠ABI=180°-∠BDI-∠BID=180°-∠BIE-∠BID=∠AID于是∠AID=∠ABI=∠ACB
∵D、F是AB、AC中点,∴DF∥BC,∴∠AFD=∠ACB
∵O是ΔABC的外接圆心,D是外接圆的弦的中点,∴OD⊥AB,同理OF⊥AC于是A、D、O、F四点共圆,∴∠AOD=∠AFD=∠ACB
于是∠AID=∠AOD,∴A、D、I、O四点共圆∴∠AIO=∠ADO=90°,即OI垂直AK