（2014•贵阳模拟）如图，动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x2=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦，当圆心

（2014•贵阳模拟）如图，动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x²=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦，当圆心D运动时，记|AM|=m，|AN|=n．
（Ⅰ）求证：|MN|为定值；
（Ⅱ）求[n/m]+[m/n]的取值范围．

汤圆0212 1年前已收到1个回答举报

漂流瓶726 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）设圆心（a，

），则圆为（x-a）²+（y-

）²=a²+（2-

）²，由此能证明|MN|=4．
（Ⅱ）令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，又由S_△AMN=[1/2mnsinθ−

|MN|yA=4，得

＝2sinθ，由此能求出

m]+[m/n]的取值范围．

（Ⅰ）证明：设圆心（a，
a2
4），
则圆为（x-a）²+（y-
a2
4）²=a²+（2-
a2
4）²，
当y=0时，x=a±2，
∵MN为圆D在x轴上截得的弦，
∴|MN|=4．
（Ⅱ）令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由S_△AMN=[1/2mnsinθ−
1
2|MN|yA
=
1
2×4×2＝4，
∴
16
mn＝2sinθ，
∴
m
n+
n
m]=2（sinθ+cosθ）
=2
2sin（θ+
π
4），
又[m/n+
n
m]≥2
∴2≤[n/m]+[m/n]≤2
2，
∴[n/m]+[m/n]的取值范围是[2，2
2]．

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查圆的弦长为定值的证明，考查代数式的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

1年前

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