已知双曲线的焦点在x轴上，一个焦点为（-3，0），一条渐近线为y=2x．

解题思路：（1）根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=

2

x，则可设双曲线的方程为x2−

y2

2

＝λ，然后根据c=

3

，求出λ的值即可；
（2）先假设存在这样的直线l，分斜率存在和斜率不存在两张千克设出直线l的方程，当k存在时，结合双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则根据△＞0及其P是线段AB的中点，找出矛盾，然后判断当k不存在时，直线经过点P但不满足条件，综上，符合条件的直线l不存在．

（1）根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=
2x，
则可设双曲线的方程为为x2−
y2
2＝λ，λ＞0，
又因为双曲线的一个焦点为（-
3，0），c=
3，
则双曲线的方程可变形为
x2
λ−
y2
2λ＝1，
又由c=
3，则3λ=3，解得λ=1；
则此双曲线的方程是：x2−
y2
2=1．
（2）设过点P（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
①当k存在时，有y=k（x-1）+1，x2−
y2
2=1，
可得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0
当直线与双曲线相交于两个不同点，可得
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜[3/2]，
又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x₁+x₂=
2(k−k2)
2−k2，
又∵P（1，1）是线段AB的中点，
∴
x1+x2
2=1，即
k−k2
2−k2=1，解得k=2．
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 无实数解
故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．
②当x=1时，直线经过点P但不满足条件，
综上所述，符合条件的直线l不存在．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，考查双曲线的性质的运用，考查学生的运算能力，属于中档题．